函数极限
极限理论
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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函数极限
1. 函数极限
1.1. 函数极限的定义
1.2. 函数极限的性质与四则运算
1.3. 复合函数的极限
1.4. 函数极限的判别法则
1.5. 两个重要的的极限及其应用
1.6. 目录
函数极限的定义
定义 1. (函数在处的极限)
在上定义，为给定的数。
若, ，满足
则称时，的极限为，记为
或
定义 2. (函数在处的极限)
在上定义，为给定的数。
若, ，满足
则称时，的极限为，记为
，或
如果既允许，也允许，则记为
例 1. (例2.2.1) 证明： 当，
例 2. 证明： 当，
例 3. 证明： 对，
例 4. (例2.2.3) 证明： 对，有
例 5. 由，
试求和
, 为常数。
定义 3. (函数在一点的极限)
函数在的某去心邻域内定义，，若， ，满足
则称时，的极限 存在，且为，记为
或
例 6. (例2.2.4) 求
例 7. 证明，对任意实数，有
例 8. 已知时，，
求
例 9. 证明
定义 4. (函数的左、右极限)
函数在的左邻域内有定义，是给定的数。若对, ，使得
则称在左极限为，记为
或者
类似，可以定义函数的右极限，记为
函数在的右邻域内有定义，是给定的数。若对, ，使得
则称在右极限为，记为
或者
例 10. (例2.2.6) 符号函数
在处左、右极限
例 11. ，
定理 1.
函数在的去心邻域有定义，则存在的充要条件是，在的单侧极限和都存在且相等
函数在点处的极限(左极限、右极限)与函数在处的函数值没有关系。
函数在点处可以没有定义，但它在处的极限(左极限、右极限)可以存在。
定义 5. (无穷大量)
函数在附近有定义，若对任意，，满足
则称时，为无穷大量,记为
类似，可以定义, ,, ,, , , 等情形
函数的极限有6种形式，
, , ,
, ,
通常以为例来描述极限相关的特性(或定理)，
而这些特性通常可以推广到其它的极限形式。
定理 2.
设，则有
设，则有
定理 3.
设在附近有界，，则有
定理 4. (函数极限与数列极限的关系)
函数在的某个去心邻域内定义，则的充要条件是，任意以取值异于而以为极限的数列，有
注.
实际上，只要有存在，就可以证明这些极限值是同一个。
条件“取值异于”很重要。
如，
则。
取为，,
则是，没有极限。
实际上，若任意以取值异于而以为极限的数列，有存在，则这些极限是一样的。
解. 否则，若有, ，有, ,并且 ，则取，则，但无极限。
矛盾
这个定理是沟通函数极限和数列极限的桥梁，通常用来证明某些函数极限不存在
例 12. (例2.2.10) 证明：当时，的极限不存在
例 13. 证明：当时，的极限不存在
例 14. 证明：Dirichlet函数
在任意一点的极限不存在。
函数极限的性质与四则运算
定理 5. (函数极限的四则运算法则)
设,
,
(1) 函数的极限也存在，且有
(2) 乘积函数的极限也存在，且
(3) 若，则函数的极限也存在，且
推论 1.
, 则对任意常数，有
例 15. 若是次数不高于次的多项式，则对任意数，有
例 16. (例2.2.7)
例 17. (例2.2.8)
例 18. ,
例 19. (例 2.2.11) , (前面证明 )
定理 6. (函数极限的唯一性)
函数极限如果存在，则唯一
定理 7. (局部有界性)
若函数极限存在，则在附近有界。即存在和，使得
例 20. 证明函数极限的乘法规则
定理 8. (函数极限的比较定理)
设, ,
(1) 如果在附近有，则
(2) 如果，则在附近有
定理 9. (函数极限的保号性)
设,
(1) 如果在附近有，则
(2) 如果，则存在，满足附近成立
例 21. 证明极限运算的除法规则
复合函数的极限
定理 10. (复合函数的极限)
设函数在的某个去心邻域内有定义，存在；
又设， ，
且存在, 有
则有
例 22. (复合函数极限的条件) 取
则,
。
而为
则不存在(为什么？)。
取Riemann函数，
则，而在任意实数处的极限不存在。
例 23. (注 2.2.2) 时，有,
命题 1. (幂指函数的极限)
若, ，则
问题. 成立吗？
解. 不能直接由复合函数极限规则来判断，需要自行证明。
例 24. 若，则
现在已经证明：
关于, ，有
关于幂函数，有
关于三角函数, , ，有
且,
不收敛。
关于反三角函数
[习题2.2(1-1) ]
按定义证明
证明. 对，取，
则当时，有，从而
即
复合函数的极限在应用过程中，就是不断变量代换的过程
例 25. (例2.2.12)
例 26. 求
例 27.
复合函数的极限也可以用在的情形：
设函数在有定义，存在；
又设， ，
则有
例 28. [习题]
函数极限的判别法则
与数列极限类似的
夹逼原理
单调有界原理
Cauchy收敛准则
夹逼原理
定理 11. (函数极限的两边夹定理)
当时，有, 。且在附近有
则有
例 29. (例 2.2.13) 求极限
例 30. 证明,
单调有界判别法
定理 12. (函数极限的单调有界判别法)
单调有界函数在其区间上每一点都有左、右极限。特别地，, 存在。进一步地，如果在内单调增，则有
如果在内单调减，则有
Cauchy收敛准则
定理 13. (Cauchy收敛准则)
设函数在的某个去心邻域内有定义，则在点处有极限的充要条件是：
, ,
使得对任意属于的去心邻域，
即时，成立
注.
Cauchy准则通常用来判别某个极限不存在
函数在处的极限不存在的Cauchy准则是什么？
解. ，使得对，
都存在的去心邻域内的两个点，
即，成立
例 31. 用Cauchy准则来判定时，是否存在极限？
简单理解来说，就是总能在附近找到两个点，使得
解. 对于，
，找到整数，
取, ，
则
(即在的去心邻域内)，成立
函数在处的极限存在的Cauchy准则是什么？
解. , ,
使得对任意，成立
函数在处的极限不存在的Cauchy准则是什么？
解. , 对,
总能找到，成立
例 32. 用Cauchy准则证明时，的极限不存在。
两个重要的的极限及其应用
命题 2.
命题 3.
例 33. [例2.2.14]
例 34. [例2.2.15]
例 35.
例 36.
例 37. [例2.2.16] ，其中
例 38. [例2.2.17]
例 39. [例2.2.18] ,
,
例 40.
例 41.
例 42. [例2.2.20]
例 43. [例2.2.19]
若,
，
则是形态的不定式。
解. 由
令，可以得到
若，
则。
例 44. [例2.2.21] ,
例 45.
谢谢
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目录
1. 函数极限
1.1. 函数极限的定义
1.2. 函数极限的性质与四则运算
1.3. 复合函数的极限
1.4. 函数极限的判别法则
1.5. 两个重要的的极限及其应用
1.6. 目录
补充例题，挑战一下
例 46. (Cauchy定理) 若在上定义，且在每个有界的区间上有界，则(下式右端极限存在时)
(a)
(b) 若，则
例 47. (函数形式的Stolz定理) (1) 若在上定义，且在每个有界的区间上有界，
(2) 当时满足，且
则(下式右端极限存在时)
例 48.
例 49. Thanks
49.